<![CDATA[Wiki MSX Village]]> https://msxvillage.fr (C) 2005-2026 PHPBoost fr PHPBoost <![CDATA[Initiation au binaire]]> https://msxvillage.fr/wiki/initiation-au-binaire https://msxvillage.fr/wiki/initiation-au-binaire Introduction


Le monde se divise en 10 catégories : ceux qui comprennent le binaire et les autres.

A l'issue de ce module, vous devrez être en mesure de saisir toute la subtilité humoristique de cette phrase culte chez les informaticiens ! Plus sérieusement, le binaire est utilisé en informatique pour une raison simple. Tous les composants d'un ordinateur fonctionnent de la façon suivante : soit le courant passe soit il ne passe pas. Ce qui correspond au 1 / 0 du binaire.

Rappels sur le système décimal




Fonctionnement du système décimal




Les nombres que nous employons communément sont ceux du système décimal (ou si vous voulez briller en société en base 10 :p). Cela signifie que tout nombre est décomposable en une somme de puissances de 10.
Oh là mais, tu commences déjà à nous embrouiller là, c'est quoi ces histoires de puissance ?

C'est relativement simple : si vous savez faire une multiplication, vous saurez gérer les puissances ! Rien de tel qu'un exemple pour rendre la chose plus concrète : si je prends le nombre 10 000, c'est 10x1000. Ou 10x10x100. Ou encore 10x10x10x10. Ah tiens c'est amusant ça, que des 10 qui se multiplient entre eux !! Eh bien on est en plein dedans, une puissance c'est ça. C'est pour simplifier la notation d'un nombre qui se multiplie par lui-même un certain nombre de fois. Ce nombre de fois est appelé l'exposant. Dans notre exemple, on multiplie 4 fois 10 par lui-même, c'est donc 10 puissance (ou exposant) 4, qu'on notera 104.

Lorsque vous programmerez votre MSX, la syntaxe pour les puissances est différente ! Vous devez mettre le nombre que vous élevez à la puissance suivi d'un accent circonflexe puis du chiffre de la puissance.
Exemple : 23 sera à coder ainsi : 2^3

D'autres exemples ? 22 c'est 2x2 donc 4. 34 c'est 3x3x3x3 donc 81.

La seule difficulté notable est un nombre mis à la puissance 0. Eh bien figurez vous que n'importe quel nombre mis à la puissance 0 donne 1. 12380 ou 570 donneront toujours 1. C'est comme ça, c'est les mathématiques ! :D

Maintenant qu'on en connaît un peu plus sur les puissances, on va pouvoir attaquer le système décimal de plus près ! Alors pour commencer, dans décimal il y a "déci", comme 10. Ca n'a l'air de rien, mais ça veut tout dire : ça signifie que tout nombre en système décimal (ou base 10) est décomposable en (attention la formule peut paraître compliquée) une somme de produits de puissances de 10. :hum :gne :fou
Bon OK, je vais utiliser un exemple pour être plus parlant : prenons un nombre quelconque, comme 3 752. Eh bien on peut décomposer ce nombre comme suit :
3 752 = 3 000 + 700 + 50 + 2 ou
3 752 = 3x1 000 + 7x100 + 5x10 +2x1 ou encore
3 752 = 3x103 + 7x102 + 5x101 + 2x100

Donc voilà, le système décimal consiste bien en ça. C'est un peu comme si on avait à remplir un tableau avec des cases correspondant aux puissances de 10 :

103 102 101 100

3

7

5

2


Vous remarquerez d'ailleurs que les nombres qui multiplient les puissances de 10 (dans la deuxième ligne du tableau) ne peuvent aller que de 0 à 9, soit au maximum le numéro de la base (ici 10) moins un. On les appelle des digits (rien à voir avec des digitalisations d'image hein :p) Ceci est important pour définir le système binaire, que nous aborderons après avoir vu les nombres signés !

La problématique des nombres signés




Nombres signés ?? Qu'est-ce que c'est que cette bestiole-là encore ?

On les appelle aussi "nombres relatifs". Ils sont constitués d'un signe (+ ou -), et d'une partie numérique. Dans la vie de tous les jours, en hiver, vous avez des températures de -5°C par exemple. C'est un nombre signé car, le signe "-" le précède. Les nombres précédés d'un "-" sont dits négatifs, ceux précédés d'un "+" (ou d'aucun signe) sont dits positifs.
Avant d'aborder la partie binaire de la chose, il faut déjà bien maîtriser le principe en système décimal. C'est pourquoi il va falloir connaitre les opérations de base et un peu de vocabulaire sur ces nombres signés :

Tout d'abord, il faut savoir que les nombres signés qui ont la même partie numérique, mais de signe différents sont dits nombres opposés. De plus, la somme de deux nombres opposés est égale à 0. Un peu de "concrétitude" ?
Il fait -5°C dehors. On nous dit à la météo qu'il fera demain 5°C de plus, on arrive bien à une température de 0°C. Donc (-5) + (+5) = 0.

Addition




Ca se complique un peu : le signe va jouer grandement dans le résultat de l'addition ! Si on additionne deux nombres de même signe, aucun problème : on garde le signe des nombres, et on additionne la partie numérique. Exemples :
(-6) + (-3) = -9
(+5) + (+4) = 9 (ou +9)

Pour les additions de nombres de signes opposés, il faut d'abord regarder celui qui a la plus grande partie numérique. Le signe de la somme sera celui de ce nombre. Pour la partie numérique de la somme, on fait la soustraction du nombre à la partie numérique la plus grande par la partie numérique du deuxième. Allez, quelques exemples pour illustrer tout ça !

(-36) + (+12) : le nombre de plus grande partie numérique est -36. Le signe de la somme sera donc négatif. Partie numérique : 36 - 12 = 24. Le résultat de la somme est donc -24.
(-15) + (+27) : le nombre de plus grande partie numérique est +27. Le signe de la somme sera donc positif. Partie numérique : 27 - 15 = 12. Le résultat de la somme est donc 12.

Soustraction




Pour les nombres signés je vais vous en dire une bien bonne, il faut transformer la soustraction en addition ! Pour réaliser ce prodige mathématique, il suffit de remplacer le nombre soustrait par son opposé ! Exemple :
(-4) - (-5) = (-4) + (+5) = 1
D'ailleurs, à partir de maintenant, et grâce à cet exemple, on partira du principe que soustraire un nombre c'est ajouter son opposé.

Multiplication et division




Pour ces deux opérations, ce qui se passe entre les parties numériques reste le même que pour les nombres non signés. Toute la subtilité se trouve dans les signes !

Quand on multiplie ou divise deux nombres positifs, pas de problème, c'est un nombre positif. Exemple: (+4) x (+3) = +12

Par contre, quand on divise ou multiplie deux nombres négatifs, on obtient... un nombre positif ! (-4) x (-2) = +8 par exemple.

Enfin, quand on multiplie ou divise un nombre positif et un nombre négatif, le signe du résultat est toujours négatif ! (-3) x (+5) = -15.

Le système binaire




Fonctionnement du système binaire




Alors le binaire... Eh bien à la place de compter en puissances de 10 comme on le fait dans le système décimal, on va compter en puissances de 2 ! Et si vous avez bien suivi, si on reprend le tableau qu'il y avait plus haut dans le système décimal, les cases ne seront remplies que par des 0 ou des 1 ! D'ailleurs - un peu de vocabulaire informatique en passant ne peut pas faire de mal - les digits en binaire sont appelés bits (contraction de l'anglais binary digits). Tout nombre est donc décomposable en puissances de 2. Prenons le nombre 37 par exemple, en binaire il s'écrira 100101. En réutilisant le tableau, on comprend immédiatement pourquoi :

25 24 23 22 21 20

1

0

0

1

0

1


On a bien 37 = 1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20
Soit 37 = 32 + 0 + 0 + 4 + 1

De même, 29 sera noté en binaire 11101 :
29 = 16 + 8 + 4 + 1
29 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x21

Vous avez saisi le principe ? J'espère, car on va aborder les opérations sur ces nombres binaires, et là ça se complique un tantinet ! :oups D'autant qu'en plus des opérations arithmétiques "classiques" (addition, soustraction...) les nombres en binaire peuvent également être soumis à des opérations dites logiques !

Opérations arithmétiques




Addition



Pour additionner deux nombres en binaire, c'est le même principe que l'addition de nombre décimaux ! Petit rappel de ce principe : vous additionnez les digits des nombres de droite à gauche, avec le principe de retenue quand vous dépassez ou égalez 10. Exemple :

add1

En binaire, vous aurez la retenue dès que vous égalez 2 (je-pose-0-et-je-retiens-1), ce qui arrive uniquement lorsque vous ajoutez deux 1 ! La preuve, en binaire : 1 + 1 = 10 !! (l'occasion de comprendre la citation de début de cours d'ailleurs :p)
Après, l'addition se comporte de façon classique : 1+0 ou 0+1 font 1 et 0+0=0 (et non pas la tête à Toto comme on a déjà dû essayer de vous le faire croire :D).
Faites bien attention lorsque vous avez plusieurs retenues (type une addition de 4 nombres) !

Allez, on se refait notre petit exemple (en binaire cette fois) pour bien saisir la méthode. Reprenons 43 et 8, respectivement 101011 et 1000. On positionne notre addition :

add2

Et si vous convertissez 110011 en décimal, vous trouvez bien 51, c'est pastis magique, c'est fantastique !! :top

Soustraction




Pour la soustraction, c'est pareil, on procède comme en décimal (on soustrait les bits de droite à gauche), mais en faisant bien attention à ne pas oublier la retenue lorsqu'on à un 0-1 ! Un exemple tout bête pour illustrer le propos : 10-1. Soit 2-1 en décimal. Le résultat est bien 1.

soust1

Multiplication




Alors pour la multiplication, rien de plus facile : c'est strictement le même que pour la multiplication décimale ! Il ne vous reste plus après qu'à réaliser les additions suivant la techniques décrite précédemment !
Un exemple ? OK ! 5x3 ça vous va ? Donc 101x11 en binaire. Je pose l'opération :

mult1

Super simple non ? :D

Division




Pour la division binaire, c'est toujours le même principe : on procède comme en décimal lorsqu'on pose l'opération. Maintenant que vous savez comment faire une soustraction, il ne devrait pas y avoir de problème ! :D
Dans l'exemple ci-dessous, je divise 81 par 3, en convertissant le résultat binaire, j'obtiens bien 27.

div1

Nombres signés en binaire




Nous revenons à présent aux nombres signés... Mais en binaire cette fois ! Comment fait-on pour marquer le signe d'un nombre binaire ?

Facile ! On met un signe devant !

Eh bien, absolument pas ! :D Déjà, il ne faut pas oublier que votre MSX ne connaît en réalité que les 0 ou les 1. Donc pas les" +" ou les "-"... Alors comment faire ? Eh bien en utilisant avant le nombre un 1 ou un 0 ! Un nombre positif sera codé avec un 0, un nombre négatif avec un 1.

OK ! Donc si je veux coder 1, j'aurai 01 et pour -1 j'aurai 11 !

Malheureusement, non. Ou plutôt pas vraiment... Pourtant j'ai bien mis un 1 avant la valeur... Mais si vous additionnez les deux opposés, vous devriez trouver 0, ce qui n'est pas le cas ici (100). La solution réside, en premier lieu, dans le nombre de bits sur lequel on prend le nombre !! On entre là dans des considérations un poil plus complexes, mais pas inabordables !

Imaginons que nous nous restreignons à avoir des nombres (non signés) représentés sur 8 bits maximum (comme un peu de vocabulaire ne fait pas de mal, un octet = 8 bits), si tous les bits sont à 1, le plus grand nombre possible est donc 255 : 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 +1.

bit 7 bit 6 bit 5 bit 4 bit 3 bit 2 bit 1 bit 0

1

1

1

1

1

1

1

1


Alors immédiatement une petite remarque pour commencer, on considère toujours que le premier bit est le bit 0, et il est toujours celui situé le plus à droite. Notez bien cet état de fait, cela pourra vous resservir si vous osez vous frotter aux registres du Z80 ou des VDP de vos MSX !!

Revenons à notre nombre binaire sur un octet donc. Le bit 7 est donc le bit du signe, OK. Les 7 autres bits coderont donc le nombre sur lequel on appliquera l'opération. Bien entendu, le maximum possible sera forcément plus petit, cette fois ce sera 127 (je ne vous refais pas le calcul, mais vous pouvez me faire confiance ^^).

Alors allons-y, je vas enfin pouvoir passer en binaire euh... allez, -7 par exemple !! Je suis donc le raisonnement : sur 8 bits j'ai donc pour 7 : 00000111, et pour -7 je devrais avoir 10000111. Comme la somme de deux nombres opposés est nulle, je vais immédiatement vérifier le résultat :

add3

Tu te fiches de nous ? C'est quoi ce résultat ???

Oui surprenant n'es-ce pas :D ? Bon j'avoue ne pas avoir tout dit, il y a encore quelques subtilités pour représenter un nombre négatif en binaire... Deux subtilités pour être précis. Ce qui a été dit précédemment est toujours valable, à savoir que dorénavant, le bit 7 définira bien le signe de notre nombre, ça c'est immuable. Par contre, l'ajout de ce signe se produit lors d'une transformation que l'on appelle le complément à 1.

:hum :hum :hum :hum :hum

Pas de problème, je vous explique tout ça de suite : le complément à 1 consiste tout simplement à transformer un nombre binaire en changeant les valeurs des bits qui le composent ! Ainsi les 1 deviennent 0 et les 0 deviennent 1 ! Pour réaliser le complément à 1 de 7, on a donc 00000111 qui devient 11111000. Facile non ?

La dernière transformation à effectuer est d'ajouter 1. On appelle ça le complément à 2. Notre transformation précédente donne ainsi 11111001. Et là on tient ENFIN notre opposé !!

Il y a une dernière petite remarque à faire, pour ceux qui auraient l'idée d'ajouter deux opposés pour vérifier le résultat : vous aurez toujours un petit 1 dont vous ne saurez quoi faire à la fin de votre opération, une retenue qui ne sera pas quantifiée selon le nombre de bits sur lequel vos nombres sont représentés. Pour le moment : N'EN TENEZ PAS COMPTE !

Bien évidemment, cette manière de représenter les nombres binaires signés aura une incidence sur les opérations arithmétiques de base, mais je vais m'empresser de vous donner les tuyaux pour ne pas rater vos calculs !


Addition et soustraction




Ô joie, ô bonheur ! Pour l'addition, rien ne change ! Qu'on additionne un nombre négatif à un positif, ou deux négatifs entre eux (je ne parle pas de la somme de deux positifs, déjà abordée), le résultat est bon sans qu'il y ait à revoir quoi que ce soit !
Additionnons par exemple -2 et 3, puis -2 et -3. Allez, révision immédiate pour obtenir -2 et -3 ! Sur un octet, 2 se code 00000010. Son complément à 1 est donc 11111101, et donc son complément à 2 11111110. De même, 3 est codé 00000011, son complément à 1 est donc 11111100, et son complément à 2 11111101. On pose nos additions ? Allons-y !

add5

Les parenthèses sont là pour indiquer le dernier bit de retenue, qui en dehors de notre représentation sur 8 bits. Vous vous apercevez donc bien que les additions donnent les bons résultats.

La soustraction à présent... Est-ce que vous vous souvenez de ce que j'avais dit plus haut ? Qu'en fait une soustraction n'est rien d'autre qu'une "addition déguisée" ? Que si je fais 2-3 c'est comme si je faisais 2 + (-3) ? Eh bien c'est la règle qu'on applique pour la soustraction en binaire signé ! C'est clairement beaucoup plus simple d'emploi !

Multiplication et division




Pour la multiplication, idem, l'opération se passe comme pour les binaires non signés. Ceci dit, vu ce qu'on connaît de la multiplication de nombres signés dans le système décimal, on peut utiliser une astuce pour faciliter et réduire les calculs lors de la multiplication de deux nombres négatifs : on sait que la multiplication de deux nombres négatifs donnera un nombre positif, par exemple (-2)x(-3) donnera 6. Or, le produit de leurs opposés donne également le même résultat : 2x3 = 6. Donc, lorsque vous avez deux binaires négatifs à multiplier, prenez leur compléments à 2 avant de réaliser l'opération, vous gagnerez du temps ! ;)

Enfin, la division est l'opération qui est la plus problématique avec les binaires signés. En effet, si vous vous amusez à poser une division entre nombres négatifs, ou entre un nombre positif et un négatif, ou encore un négatif et un positif, vous ne parviendrez à aucun résultat valable !
La méthode à employer est la suivante :

Les deux nombres sont négatifs
De même que pour la multiplication, diviser deux nombres négatifs donne un positif. Par conséquent, il suffit de prendre les compléments à 2 des deux nombres de l'opération pour réaliser la division et vous aurez votre résultat !


L'un des deux nombres est négatif

Nous avons là le cas le plus complexe, je réclame donc toute votre attention ! :D
La première chose à faire est de remplacer le nombre négatif de l'opération par son complément à 2.
Ensuite, vous réalisez votre division, qui deviendra une division de deux nombres positifs, donc un cas qu'on a déjà abordé auparavant.
Enfin, le vrai résultat de l'opération sera le complément à 2 du résultat de la division précédente.

Je sens que vous mourez d'envie d'avoir un exemple : on y va donc. Nous allons diviser 14 par -2 (si vous avez tout bien suivi, on doit obtenir comme résultat final -7). En binaire j'ai : 00001110 divisé par 11111110. On y va donc :

1ère étape :

complément à 2 du nombre négatif, ici 11111110, j'obtiens donc 00000010

2ème étape :

Je divise 1110 par 10. On pose l'opération :

div2

3ème étape :

Je prends le complément à 2 de mon résultat précédent (111). Je trouve 11111001, ce qui est bien l'écriture en binaire de -7 sur un octet. Mission accomplie ! ^^


Les deux nombres sont positifs

C'est le cas que nous avions déjà abordé auparavant avant de voir les nombres signés en binaire, je ne m'étends donc pas plus sur le sujet. :p

Voilà pour ce qui concerne les nombres signés, et les opérations arithmétiques qui s'appliquent sur ces nombres. Nous allons maintenant aborder une partie différente, les opérations logiques !!


Opérations logiques




Avant d'aborder les opérations logiques en elles-même, il faut peut-être expliquer leur utilité, en tout cas pour ce qui va nous intéresser par la suite : la programmation. Il pourra vous arriver dans un programme d'avoir à réaliser des tests ou même des combinaisons de tests (et ce assez souvent, faites-moi confiance !).
Ainsi, telle ou telle partie d'un programme ne s'exécutera que si une ou plusieurs conditions particulières sont réalisées. Ces tests auront des résultats assez, disons... limités, vu qu'ils seront soit vrais, soit faux. Aucune autre possibilité...

Comme le monde est (parfois) bien fait, 2 valeurs possibles, c'est exactement pareil que les bits possibles en binaire : 0 ou 1. Pas la peine d'insister, vous comprendrez facilement alors que le binaire sera donc aussi utilisé pour « coder » les résultats de tests. Le 0 codera le résultat « faux », le 1 le résultat « vrai ».

Essayons de rendre ça un peu plus compréhensible avec un exemple concret : prenons la phrase « J'ai les yeux verts ». Suivant les personnes, cette phrase (qu'on appellera assertion) est vraie ou fausse. Si j'ai effectivement les yeux verts, l'assertion est vraie, elle sera codée sous forme d'un 1. Si j'ai les yeux bleus, ou marron, l'assertion est alors fausse, et codée par un 0.

On résume :
une assertion vérifiée prend comme valeur binaire 1
une assertion fausse prend comme valeur binaire 0

A quoi vont nous servir les opérateurs logiques donc ? Eh bien à renvoyer une et une seule valeur pour les différentes assertions ou combinaisons d'assertions rencontrées au cours d'un programme ! Vous êtes prêts à attaquer ?

L'opérateur NOT




Nous allons donc aborder le premier opérateur logique ! Ce n'est pas le plus dur, vu qu'il ne s'applique qu'à un seul nombre ! Si vous parlez le strict minimum en anglais, vous aurez compris le sens de celui-ci : la négation !

Reprenons mon exemple de toute à l'heure : « J'ai les yeux verts » : la négation de cette assertion est bien « Je n'ai pas les yeux verts ». Analysons un peu ce qui se passe sur nos valeurs binaires :

J'ai effectivement les yeux verts : « J'ai les yeux verts » renvoie 1, mais « Je n'ai pas les yeux verts » renvoie 0
J'ai les yeux bleus : « J'ai les yeux verts » renvoie 0, mais « Je n'ai pas les yeux verts » renvoie 1

Si on observe attentivement, on se rend facilement compte que la négation appliquée à une valeur binaire a comme effet de la transformer en son complément à 1 (vous vous souvenez ? Le 1 devient 0 et le 0 devient 1) !

On va résumer ça dans un joli tableau, qu'on appelle table de vérité. Ces tableaux sont très utiles pour résumer les actions des opérateurs logiques. On va prendre la lettre A pour définir la valeur de notre assertion.

Table de vérité du NOT

A

NOT A

0

1

1

0


Voilà, on a vu notre premier opérateur logique, le plus facile à saisir. Maintenant, on va pouvoir aborder les opérateurs entre 2 valeurs binaires. ;)


L'opérateur AND




On continue notre révision du cours d'anglais de 6ème : AND est donc l'opérateur logique qui représente le ET. On prend encore un exemple pour illustrer le propos ? OK !

Alors disons que je cherche la femme parfaite :kiss. Pour moi, cette femme parfaite est blonde aux yeux bleus, je ne choisirai pas de femme avec d'autres critères physiques. J'ai donc 2 assertions à vérifier : « une femme blonde » et « une femme aux yeux bleus ». J'ai donc 4 possibilités :
la femme est blonde aux yeux bleus
la femme est blonde et n'a pas les yeux bleus
la femme n'est pas blonde aux yeux bleus
la femme n'est pas blonde et n'a pas les yeux bleus

On voit que seule la première proposition est celle que je recherche ! Donc le résultat de l'opérateur ET n'est vrai que si les 2 assertions sont vraies également. Dans tous les autres cas, le résultat sera faux. Allons-y pour le tableau de vérité de l'opérateur (cette fois, on prend A pour la première assertion, B pour la deuxième) :

Table de vérité du AND

A

B

A AND B

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1


Si ça va, on continue avec l'opérateur suivant !


L'opérateur OR




On va commencer à avoir un peu plus de subtilité au niveau des opérateurs... Le OR représente le OU (je vous laisse traduire comme des grands maintenant :D), mais le OU dit inclusif.

Expliquons cette petite subtilité. Lorsque vous êtes confronté à un choix entre deux éléments, généralement, vous en prenez un, et un seul. Le OU inclusif quant à lui permet de prendre les deux !

Encore un petit exemple pour illustrer tout ça. Je suis à la fin d'un repas, et on me propose fromage ou dessert... L'important étant que je prenne quelque chose. J'ai donc l'assertion « Je prends du fromage » et l'assertion « Je prends du dessert ». Suivant mon choix, j'aurai donc 4 possibilités pour le résultat de mon opération logique :

Je ne prends pas de fromage, ni de dessert
Je ne prends pas de fromage, uniquement du dessert
Je prends du fromage, mais pas de dessert
Je prends du fromage et du dessert

Ici, je vois que le fait d'avoir pris quelque chose n'est vérifié que dans les propositions 2, 3 et 4 ! On y va pour le tableau de vérité ?

Table de vérité du OR

A

B

A OR B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1



L'opérateur XOR




Rien à voir avec le célèbre shérif de l'espace... Cet opérateur représente cette fois le OU exclusif, où contrairement à son prédécesseur, pour u choix entre deux éléments, on ne peut en prendre qu'un et un seul. Je reprends mon exemple pour le OR, en imaginant cette fois que mes choix soient dictés par un menu au restaurant. Je ne peux vraiment avoir QUE fromage ou QUE dessert, ou rien. Le fait que je prenne quelque chose, en ayant le droit de le faire, est résumé par les mêmes propositions que précédemment :

Je ne prends pas de fromage, ni de dessert
Je ne prends pas de fromage, uniquement du dessert
Je prends du fromage, mais pas de dessert
Je prends du fromage et du dessert

Les seuls cas où je prends quelque chose en ayant le droit de le faire sont les propositions 2 et 3. Dans la première proposition, je ne prends rien, et dans la quatrième, j'en prends trop ! Voici donc la table de vérité de l'opérateur XOR

Table de vérité du XOR

A

B

A XOR B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0



L'opérateur IMP




On va aborder des notions nettement plus complexes ou abstraites avec cet opérateur... :heink
IMP est l'opérateur d'implication. Ici on va entrer dans des conditions plus ou moins... mathématiques. On va prendre 2 assertions, qu'on appellera A et B. A implique B signifie que B est une condition nécessaire pour A, est que A est une condition suffisante pour B.

Pour expliciter tout ça je prends un exemple plus concret. Entre amis, on s'est fixé une règle : le dernier arrivé paie l'apéro... :tchin.
Ici mes assertions sont « Je suis le dernier arrivé » et « je paie l'apéro ». Voyons donc les possibilités :

Je ne suis pas le dernier, je ne paie pas l'apéro. Le résultat de l'implication est bien vérifié ! En effet, si on décide d'attendre le dernier pour payer son verre, la règle est bien respectée !
Je ne suis pas le dernier, mais je paie quand même l'apéro. Ici, le résultat de l'implication est VRAI aussi, car rien ne m'empêche de payer l'apéro en dehors du fait que j'arrive le dernier (juste parce que je suis bien sympa ^^).
Je suis le dernier arrivé, et je paie l'apéro : aucun problème, la règle est respectée aussi.
Je suis le dernier arrivé, je refuse de payer l'apéro : là il y a problème car la règle n'est pas respectée ! L'implication est donc fausse !

Résumons tout ça dans la table de vérité de l'opérateur :

Table de vérité du IMP

A

B

A IMP B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1



L'opérateur EQV




Cet opérateur représente cette fois l'équivalence. Si on a deux assertions, le résultat de l'équivalence n'est vrai que si les deux assertions sont dans le même état ! C'est relativement simple à comprendre. Prenons par exemple les assertions suivantes : « Il fait beau » et « Le soleil brille ». Voyons alors les 4 possibilités habituelles :

Il fait beau, le soleil brille. En effet, si le soleil brille, il fait forcément beau : les assertions sont bien équivalentes !
Il fait beau, le soleil ne brille pas. Là, on a une contradiction évidente, l'équivalence n'est pas respectée.
Il ne fait pas beau, le soleil brille. Même cas de situation que précédemment, l'équivalence n'est pas respectée
Il ne fait pas beau, le soleil ne brille pas. S'il ne fait pas beau, pas de soleil, l'équivalence est bien respectée.

Résumons ça dans la table de vérité qui va bien :

Table de vérité du EQV

A

B

A EQV B

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1


Voilà, le tour des opérateurs logiques usuels est réalisé, sachant que les deux derniers ne seront que peu utilisés en comparaison des précédents. Il nous reste à aborder un dernier point, à titre informatif, et ce sera terminé de cette initiation au binaire !


Opérateurs logiques appliqués aux nombres




Les opérateurs que nous venons de voir ne concernaient ici que des conditions, soit des opérations sur un seul bit. Eh bien figurez vous que vous pouvez appliquer ces mêmes opérateurs... sur des nombres. Quel intérêt ? Eh bien il est peut-être un peu tôt pour vous l'expliquer (ou comment se débarrasser d'une question embarrassante :lol), mais ils peuvent s'avérer utiles pour modifier certaines valeurs par exemple. On va voir immédiatement comment fonctionnent ces opérateurs sur des nombres.

Bien évidemment, ces opérateurs vont concerner les représentations binaires des nombres. Avant de faire un 2 XOR 4, il vous faudra donc convertir les valeurs en binaire. Eh bien, tant qu'on a un exemple, allons y.
Sur un octet, j'ai donc 2 qui est représenté par 00000010 et 4 par 00000100.
La règle est la suivante : lorsqu'on applique un opérateur logique à un nombre binaire, le résultat est application de l'opérateur bit par bit correspondant.

Je dois donc réaliser toutes les opérations suivantes :

- bit 7 du premier nombre XOR bit 7 du deuxième nombre
- bit 6 du premier nombre XOR bit 6 du deuxième nombre
- bit 5 du premier nombre XOR bit 5 du deuxième nombre
- …
- bit 0 du premier nombre XOR bit 0 du deuxième nombre

Si j'applique ma méthode, je trouverai donc 00000110, soit 6 !
Avec l'opérateur AND, j'aurais trouvé 0, et avec l'opérateur OR, 6. L'opérateur IMP m'aurait renvoyé -3, et l'opérateur EQV -7 !


Voilà qui termine ce cours d'initiation au binaire, en espérant que vous y avez trouvé des informations intéressantes ! ;)

Vous voilà maintenant prêts à attaquer une autre représentation des nombres : l'hexadécimal !


Annexe




En annexe, voici quelques puissances de 2 qu'il vous sera utile de connaître (par coeur de préférence :D) :

- 20 = 1
- 21 = 2
- 22 = 4
- 23 = 8
- 24 = 16
- 25 = 32
- 26 = 64
- 27 = 128
- 28 = 256
- 29 = 512
- 210 = 1024
- 211 = 2048
- 212 = 4096
- 213 = 8192
- 214 = 16 384
- 215 = 32 768]]> Tue, 09 May 2017 14:25:53 +0200 <![CDATA[Equations et inéquations du premier degré à une inconnue]]> https://msxvillage.fr/wiki/equations-et-inequations-du-premier-degre-a-une-inconnue https://msxvillage.fr/wiki/equations-et-inequations-du-premier-degre-a-une-inconnue





Les équations







Définition d'une équation





Pour définir une équation, on peut dire qu'il s'agit d'une relation d'égalité entre deux choses, qui est vraie, ou vérifiée si vous préférez.

Si je prends l'égalité suivante : 2 = 2, nous sommes d'accord qu'il s'agit d'une égalité vraie. Si je marque à présent 7-5 = 2, c'est vrai aussi. De même pour 8-6 = 2, ou 3-1 = 2. Vous remarquerez à raison que j'ai choisi des opérations donnant toutes comme résultat 2. En effet, c'est pour vous présenter la notion d'équivalence entre deux équations. 2 = 2 est équivalente à 8-6 = 7-5, parce que les deux équations sont deux interprétations de la même égalité vraie.



Ouh là c'est pire que du chinois ta phrase !! :fou



J'avoue que le vocabulaire est un poil complexe :oups, mais je vais essayer de vous aider à assimiler le truc : en fait c'est comme lorsque l'on parle ou écrit : on a parfois plusieurs mots pour décrire la même chose, les synonymes. Après vous pouvez aussi vous représenter ça comme un dictionnaire, où vous avez une explication détaillée pour décrire un seul mot.

Par exemple, je prends un exemple culinaire (oui je viens de passer à table :p). Si je vous dit "pomme de terre coupée en bâtons cuits dans l'huile", vous aurez directement compris de quoi je parle ! Si je pose une équation, j'ai bien :

frite = pomme de terre coupée en bâtons cuits dans l'huile



Si je vous parle également de "spécialité à base de pomme de terre généralement liée à la Belgique", vous pensez à quoi ?

Je peux donc aussi écrire :

frite = spécialité à base de pomme de terre généralement liée à la Belgique



J'ai donc bien deux égalités qui sont équivalentes : frite = pomme de terre coupée en bâtons cuits dans l'huile équivaut à frite = spécialité à base de pomme de terre généralement liée à la Belgique.



Ce sont bien deux manières différentes d'énoncer la même chose ! ;)



Maintenant, les équations en mathématiques, ce n'est pas si simple, et elles ont un but précis, c'est ce que nous allons voir à présent.





La recherche de l'inconnue





Ne rêvez pas, les équations qu'on va aborder ne seront pas du type 5-4 = 9-8, ce serait bien trop facile ! En fait, les équations mathématiques sont toujours posées avec une ou plusieurs lettres. Un exemple ?



2x-4 = 0



Le but de la résolution d'équation est là : chercher la (ou les) valeurs de x pour que l'équation soit vraie !



Comment je fais ? Je teste toutes les valeurs jusqu'à ce que je trouve la bonne ?



Surtout pas malheureux !! :lol Ce serait un travail bien trop lourd et fastidieux ! La méthode pour résoudre une équation, c'est de trouver des équations équivalentes, jusqu'à ce qu'on puisse trouver directement la valeur de x. Mais tout ceci va être expliqué au paragraphe suivant ! ;)





Résoudre une équation c'est respecter la vérité !





Eh oui, comme le titre l'indique, résoudre une équation, c'est aussi simple que ça ! Je vais reprendre mon exemple hyper simple du début : 2 = 2.

Si vous appliquez la même opération de chaque côté du terme "=", vous vous rendrez compte qu'on garde une équation vraie ! Je vous illustre ça tout de suite, en appliquant une première opération arithmétique classique : l'addition d'un nombre. Quel nombre prend-on ? 5 ça vous va ? OK alors vérifions :

Est-ce que j'ai bien 2+5 = 2+5 ? Soit 7 = 7 ? Oui, donc je peux ajouter 5 de chaque côté de mon égalité, la vérité est respectée.

Avec la soustraction ? Même principe : je retire 1 de chaque côté :

2-1 = 2-1 ? 1 = 1 ? Bien sûr ! La vérité est respectée aussi !

Et si on multipliait à présent ? Par 7 par exemple ?

7*2 = 7*2 ? Je ne prends même plus la peine de vous donner le résultat :lol

Et il en va de même pour la division : en divisant les deux termes par 2, j'aurai 2/2 = 2/2, donc 1 = 1, toujours la vérité !



Pour toute équation vous aurez donc la possibilité d'effectuer les mêmes opérations arithmétiques de chaque côté du signe "=", vous obtiendrez une équation équivalente ! Avec une équation à une inconnue, notre but sera donc ce qu'on appelle isoler l'inconnue, soit la mettre toute seule d'un côté du signe "=". Pour réaliser ça, je vais devoir faire en sorte d'appliquer aux termes de l'égalité des opérations "opposées" à celles présentes dans l'équation. Si j'ai une addition, j'applique une soustraction et inversement. Si c'est une division, je fais une multiplication, et inversement.



On se résout l'équation du paragraphe précédent pour avoir un exemple concret ?

J'ai 2x-4 = 0. Ici, J'ai d'abord l'inconnue qui est multipliée par 2. On lui retranche ensuite 4. J'ai donc une multiplication et une soustraction. Je vais commencer par "éliminer" la soustraction : je vais donc additionner 4 de chaque côté de l'égalité. J'obtiens donc :



2x-4+4 = 0+4, soit 2x = 4. A présent, je vais "éliminer" la multiplication par 2 en divisant par 2 les deux côtés :

2x/2 = 4/2, soit x = 2. Mais ? Mais ?!? Mais j'ai la valeur de mon inconnue !! Certes, on est arrivé à isoler correctement l'inconnue, mais avant d'aller crier partout sur les toits sa valeur, il faut vérifier dans l'équation de départ, pour être bien sûr de ne pas avoir raté quelque chose :



Si je prends comme valeur 2 pour x, j'ai dans mon équation de départ :



2*2-4 = 0, soit 4-4 = 0, soit 0 = 0 : j'obtiens bien une équation vraie, je peux donc clamer haut et fort que ma solution est 2 ! :glass



Ici l'exemple était simple, forcément c'est pour l'exemple. Et si vous tentiez le coup tout seul pour voir, sur une équation un peu plus dure ?

Allez tiens, résolvez-moi celle-ci :



3x-4 = 2x+6.



Aha ! On fait moins le malin ? :p Blague à part, essayez de résoudre celle-ci par vous-même, sachant que vous pouvez additionner et soustraire ce que vous voulez des deux côtés de l'égalité, même l'inconnue et des multiples de celle-ci...



La solution est cachée, si vous voulez voir le détail, il n'y a qu'à cliquer !



Caché :
Première étape : je me débarrasse de la soustraction du terme de gauche : j'ajoute donc 4 de chaque côté, j'obtiens :

3x-4+4 = 2x+6+4, soit 3x = 2x+10.

Deuxième étape : je regroupe tout ce qui concerne l'inconnue du même côté. Je vais donc retirer de chaque côté 2x. Eh oui ! On a donc :

3x-2x = 2x+10-2x, soit x=10.

Troisième étape : vérification de ma solution : je vérifie si 3*10-4 = 2*10+6.

J'ai donc 30-4 = 20+6 soit 26 = 26, tout est OK, la solution de l'équation est bien 10 !





Habituellement, en mathématiques, on a coutume de donner la solution sous forme d'un ensemble. Dans le cadre des mathématiques pour la programmation, il n'est pas essentiel que vous le sachiez mais pour information c'est toujours intéressant de le savoir. On appelle donc S l'ensemble des solutions, et la réponse est placée entre accolades. La notation est la suivante :

S=delim{lbrace}{valeur de la solution}{rbrace}

Une solution seule, comme c'est souvent le cas ici est appelée un singleton





Cas particuliers





Bien sûr, il existe des cas particuliers pour certaines équations, sinon ce serait trop facile. ;) Heureusement, il n'y a que deux cas qui peuvent se présenter :



1er cas : pas de solution



Vous n'aurez pas de solution lorsque, quelle que soit la valeur de l'inconnue, l'équation est fausse. Je vous donne immédiatement un exemple de ce cas très particulier. Si je vous pose l'équation suivante : 2x+3=2x-4.

Tentons alors de la résoudre :

Je regroupe d'abord les nombres du côté droit de l'égalité, j'ajoute donc 4 de chaque côté, j'obtiens :

2x+3+4=2x-4+4 soit 2x+7=2x

A présent je regroupe tout ce qui concerne l'inconnue du même côté, je dois donc retirer 2x de chaque côté. J'obtiens :

2x+7-2x=2x-2x soit 7=0

Il n'y a pas quelque chose qui vous perturbe là ? :D En effet, on obtient quoi qu'il arrive une égalité fausse : cette équation n'a donc aucune solution possible !



2ème cas : une infinité de solutions



Les équations qui ont une infinité de solutions sont facilement reconnaissables, en effet, les deux côtés de l'égalité sont identiques en valeur numérique ! Par exemple, l'équation suivante, 2x+3=2x+3 comporte une infinité de solutions ! Tentez de remplacer x par n'importe quelle valeur et vérifiez l'égalité, vous verrez par vous-même le résultat !





Voilà qui conclut ce qui concerne les équations à une inconnue ! Forts de cette nouvelle connaissance, on va pouvoir attaquer la deuxième partie : les inéquations !





Les inéquations







Définition d'une inéquation





A l'instar des équations, une inéquation représente un énoncé vrai. La seule chose qui change, c'est qu'on n'a plus cette fois d'égalité, mais une inégalité ! Les signes qui seront utilisés ici sont donc les suivants :



x > y : soit "x est supérieur à y"

x >= y : soit "x est supérieur ou égal à y"

x < y : soit "x est inférieur à y"

x <= y : soit "x est inférieur ou égal à y"



La notion d'infériorité ou supériorité avec égalité signifiant bien sûr que l'égalité est tolérée (par exemple 3<=3 est considérée comme vraie, contrairement à 3<3 qui n'est pas vraie).





La recherche des inconnues





Là est toute la différence avec une équation : ici pour les inéquations on ne cherche pas la valeur d'une inconnue, mais une plage de valeurs qui permette de conserver la vérité de l'expression. Pour une inéquation simple, comme x < 2, x peut avoir la valeur 1, l'expression est vraie. Mais si x prend la valeur 0, celle-ci est également vraie. Je pourrais vous donner encore plein de solutions possibles, mais bon on a pas la vie devant nous ! :lol En effet, pour cette équation si basique, le nombre de solutions est infini ! Eh oui, absolument TOUS les nombres plus petits que 2 sont solution ! De 0,5 à -10253 en passant par 1,75 ou -8944544586, ces nombres sont solutions de l'inéquation !

Au final, on peut dire que pour une inéquation, on aura bien un ensemble de solutions !





Résolution d'une inéquation : attention au signe !





La méthode de résolution d'une inéquation est exactement la même que pour une équation : le but de la manoeuvre sera toujours de parvenir à isoler l'inconnue d'un côté de l'inégalité, en appliquant des opérations arithmétiques sur l'inégalité. Tout se passe bien pour l'addition et la soustraction, mais il y a une précaution à prendre pour ce qui est multiplication et division ! Avec les exemples suivants, vous allez comprendre :

Prenons deux nombres positifs quelconques : on va faire simple, avec 2 et 1.

Je peux écrire 2>1, car c'est une expression vérifiée. Que se passe-t-'il lorsque je prends leurs opposés ? Eh bien cette fois j'ai -2<-1... Eh oui, quand il fait -10°C dehors, la température est bien moins élevée que lorsqu'il fait -1°C ! Avec les nombres négatifs, plus la valeur du nombre après le signe - est élevée, plus le nombre est petit ! Cela impacte directement le signe de notre inéquation lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif. Pour notre exemple, en prenant les opposés, on peut dire que j'ai effectué une multiplication des deux termes par -1. Avec une multiplication par -1 je passe de

2>1

à

-2<-1

ou, si vous préférez garder le même signe d'inégalité :

-1>-2



En résumé : dans une inéquation, lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif, soit on change le signe d'inégalité, soit on inverse les deux termes de l'inégalité.

Retenez bien ceci car c'est capital pour ne pas faire d'erreur !! :glass



On va passer à quelques exemples de résolution d'inéquations, ensemble d'abord, puis vous essaierez seuls ensuite.



Exercice 1 : Résoudre l'inéquation 3x+1>=4x-2



1ère étape : on se débarrasse du nombre dans la partie de gauche de l'inégalité. Je retranche donc 1 de chaque côté. J'ai donc

3x+1-1>=4x-2-1 soit 3x>=4x-3



2ème étape : on regroupe ce qui concerne l'inconnue dans la partie de gauche de l'inégalité. Je retranche donc 4x de chaque côté. J'ai donc

3x-4x>=4x-3-4x soit -x>=-3



3ème étape : je termine en multipliant par -1 de chaque côté pour obtenir x et non plus -x. J'ai donc

-x>=-3 qui devient x<=3



J'ai donc a priori tous les nombres inférieurs ou égaux à 3 qui satisfont l'inégalité. On peut donc vérifier à présent, en prenant x=0 par exemple. Ai-je bien 1>=-2 ? Oui, donc ma solution est bonne !

On présente la solution sous forme d'un ensemble, avec des crochets, sous la forme [borne inférieure de l'ensemble; borne supérieure de l'ensemble]. Comme il y a une infinité de solutions, on utilise un symbole pour décrire l'infini. Celui-ci se présente sous la forme d'un 8 couché : infty. Et en mathématiques, il y a deux infinis : l'infini positif noté +infty, et l'infini négatif noté -infty.



Le sens des crochets dans la représentation de l'ensemble est important également : il indique si on exclut une borne ou pas.

Le crochet de gauche, lorsqu'il est ouvrant (" [ ") indique qu'on inclut la borne inférieure.

Lorsqu'il est fermant (" ] "), il indique qu'on exclut la borne inférieure.

Et inversement, le crochet droit lorsqu'il est ouvrant indique qu'on exclut la borne supérieure, et qu'on l'inclut lorsqu'il est fermant.

Pour info, une borne infinie est [b]toujours[b] exclue.



Pour notre exemple, on note donc S l'ensemble des solutions, on a donc S=]-infty;3].

Vous remarquez donc que la borne 3 est incluse dans l'ensemble, car la borne 3 satisfait l'inéquation. Si on avait eu l'inéquation 3x+1>4x-2, il aurait fallu exclure la borne 3.



Allez, maintenant à vous de travailler, même si je laisse encore une fois la solution à disposition !

Trouvez les solutions de l'inéquation suivante : 7x-8>3x+4



Caché :
1ère étape : on se débarrasse du nombre dans la partie de gauche de l'inégalité. J'ajoute donc 8 de chaque côté. J'ai donc

7x-8+8>3x+4+8 soit 7x>3x+12



2ème étape : on regroupe ce qui concerne l'inconnue dans la partie de gauche de l'inégalité. Je retranche donc 3x de chaque côté. J'ai donc

7x-3x>3x+12-3x soit 4x>12



3ème étape : je termine en divisant par 4 de chaque côté. 4 étant positif, pas besoin de changer le signe ! On a donc :

x>3



L'ensemble des solutions apparaît être S=]3; +infty[. Je vérifie avec un nombre de cet ensemble (par exemple 5) : ai-je bien 7*5-8>3*5+4 ? Soit 35-8>15+4 ou encore 27>19. La vérité de l'inégalité est bien respectée, mon ensemble de solutions est le bon !





Vous voilà maintenant expert en équations et inéquations ! Vous me demanderez peut-être à quoi cela va vous servir pour programmer ? Eh bien vous le découvrirez dans d'autres chapitres, notamment celui concernant les repères.



N'hésitez pas à critiquer et à faire des remarques, ce tutoriel n'est pas figé et ne demande qu'à être amélioré ! ;)



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]]> Mon, 01 Dec 2014 18:30:09 +0100 <![CDATA[Se repérer dans un plan]]> https://msxvillage.fr/wiki/se-reperer-dans-un-plan https://msxvillage.fr/wiki/se-reperer-dans-un-plan Introduction



Le cours qui suit a pour but de vous familiariser avec la notion de plan et de coordonnées, ce qui vous permettra de bien saisir ce qu'il faut faire lorsque vous passerez à la programmation pour réaliser vos affichages à l'écran. Bonne lecture !



Le repère orthonormé (ou orthonormal)





Touché, coulé !





Vous avez sans doute tous déjà joué à la bataille navale... Votre adversaire et vous placez vos bateaux horizontalement ou verticalement sur un quadrillage, marqué horizontalement pas des nombres et verticalement par des lettres. Lorsque vous souhaitez torpiller une position sur le quadrillage, vous annoncez la case du quadrillage correspondante (en général d'abord la lettre, puis le chiffre, genre C8). Eh bien mine de rien, ce petit jeu vous représente exactement la technique qui est utilisée pour se repérer dans un plan.



bataillenavale



Ah oui, c'est vrai, je ne vous ai pas dit ce qu'était un plan :oups. Eh bien, vous pouvez vous imaginer qu'un plan c'est comme une une feuille blanche très fine qui s'étendrait à l'infini. Revenons à nos moutons donc : comment faire pour se repérer sur un plan ? Eh bien en adoptant le système de la bataille navale, c'est à dire en créant un genre de quadrillage de ce plan. Sur ce quadrillage, il nous faudra être capables de nous repérer, et donc d'utiliser un système de coordonnées. Comme pour la bataille navale donc, sauf qu'au lieu de lettres, on utilisera aussi des nombres.



Mise en place d'un repère du plan





Avant d'aller plus loin, il est capital de savoir que si les coordonnées sont des bien nombres, il faut forcément un début... Ben oui, si je mets un point à la coordonnée verticale 1, il faut bien pouvoir calculer ce 1 par rapport à quelque chose ! On admettra donc que ce "début" est le point de coordonnées 0 horizontalement et 0 verticalement. On appelle ce point l'origine. D'ailleurs, tant qu'on est à faire du vocabulaire, il vous faudra retenir que les 2 coordonnées utilisées pour se repérer sont nommées abscisse et ordonnée (nous rentrerons plus tard dans le détail). Ceci étant, ce n'est pas encore suffisant pour pouvoir placer des points sur mon quadrillage ! La preuve, regardez ce représentation de plan avec son origine (on place un point nommé O... comme origine, qu'est-ce que c'est... original :lol).



origine



Comment fait-on pour placer nos points ? Dans quelle direction ? A quelle distance ?

Là réside toute la subtilité : tout d'abord, on va faire passer par notre point origine deux droites perpendiculaires (ou orthogonales). Pour rappel deux droites perpendiculaires forment un angle droit (90°). On obtient donc un dessin comme ceci :



orthogonal



Oui, en passant, je ne sais pas si vous avez placé vos droites perpendiculaires comme moi, mais je me suis permis de redresser le tout, histoire d'avoir une verticale et une horizontale... (après tout c'est la représentation classique ^^). Ainsi nous avons les directions à suivre pour nos abscisses et ordonnées. L'abscisse sera la coordonnée sur l'axe horizontal, l'ordonnée celle sur l'axe vertical. Alors maintenant on a certes la direction, mais pas le sens ! Vous verrez que tout sera différent en fonction du sens (par exemple, lorsque vous programmerez frénétiquement votre MSX favori, vous verrez que les abscisses croissantes vont à droite et les ordonnées croissantes vont vers le bas). Ici, nous utiliserons le sens "habituel" des cours de mathématiques :

- abscisses croissantes vers la droite

- ordonnées croissantes vers le haut



On a notre direction, notre sens, il nous reste juste à graduer notre plan. Dans l'absolu, on peut prendre les divisions que l'on souhaite sur chacun des axes, mais en pratique, il est bien plus commode de travailler avec des graduations identiques sur les deux axes. Un tel plan est dit normé. A présent pour se repérer sur les axes, il suffit de savoir que suivant le sens, les abscisses et ordonnées sont positives après le point d'origine. Et d'ailleurs, on appellera dorénavant l'axe horizontal axe des abscisses, le vertical axe des ordonnées.



Voilà le résultat de notre plan avec toutes les informations nécessaires pour placer des points :



orthonorme





On dit alors que le plan est pourvu d'un repère orthonormé (directions orthogonales, et repère normé, d'où le joli nom du repère :D). Vous remarquerez que nos axes délimitent le plan en 4 parties : ces parties sont appelées quadrants. Ils sont numérotés de 1 à 4, et s'organisent comme dans le schéma suivant :



quadrant



Le quadrant 1 est celui des abscisses et ordonnées positives.

Le quadrant 2 est celui des abscisses négatives et ordonnées positives.

Le quadrant 3 est celui des abscisses et ordonnées négatives.

Le quadrant 4 est celui des abscisses positives et ordonnées négatives.



A présent, on va pouvoir mettre plein de choses sur notre plan, grâce aux coordonnées !





Les points sur un repère







Conventions d'écriture





Afin de se faciliter la tâche, on va employer les deux systèmes utilisés habituellement pour notifier des coordonnées d'un élément du plan. Tout d'abord, on utilisera des lettres pour symboliser l'abscisse et l'ordonnée. X sera l'abscisse, Y l'ordonnée.

La première solution est la suivante : pour donner les coordonnées d'un élément A, on écrira A(X; Y).

La deuxième méthode est plus... verticale ^^, mais vous verrez qu'elle nous sera utile pour réaliser des calculs. On utilise cette notation :



A tabular{000}{10}{X Y}



Suivant les cas, je pourrai alterner de l'une à l'autre notation, c'est juste pour que vous ne soyez pas trop perdus ! :D





Identifier ou placer un point





Le premier des éléments qu'on pourra positionner grâce à notre repère, c'est le point. C'est très facile : pour obtenir les coordonnées d'un point que vous positionnez sur le plan, il suffit de tirer deux traits à partir de ce point : un vers l'axe des abscisses, l'autre vers l'axe des ordonnées. Cette technique s'appelle la projection sur un axe. Il ne vous reste plus qu'à lire votre graduation pour trouver les coordonnées de votre point. Facile, non ? Ci-dessous un exemple, on va placer un point A quelconque sur notre plan :



pointa



Grâce à mes projections, je trouve que l'abscisse de mon point est 3, et l'ordonnée -2. J'ai donc A(3; -2).



De la même manière, si vous avez un point à placer dont vous connaissez les coordonnées, il vous suffit de suivre votre graduation sur les deux axes pour placer le point. Imaginons que j'aie le point B(2; 1) à placer :



1ère étape : je cale mon abscisse. Pour cela, je trace une droite verticale qui coupe l'axe des abscisses à l'abscisse souhaitée :



pointb1



2ème étape : je cale mon ordonnée. Je trace cette fois une droite horizontale qui coupe l'axe des ordonnées à l'ordonnée souhaitée :



pointb2



Le point que je place est ainsi à l'intersection de ces deux droites !





Calculer une distance entre 2 points





Pour calculer une distance entre deux points, il existe une formule se servant de leurs coordonnées. Je ne vais pas vous faire une démonstration pour ça (pour ceux que ça intéresse, ça utilise le théorème de Pythagore :D), je vais vous la donner en "brut".

On va prendre deux points A et B, et leurs coordonnées respectives. On pose donc :



A tabular{000}{10}{x_A y_A} et B tabular{000}{10}{x_B y_B} ou A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B)



La formule pour calculer la distance est la suivante : sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}



En détaillant : vous faites d'abord la différence entre les abscisses (peu importe l'ordre d'ailleurs ici), puis vous les mettez au carré.



Euh... au carré ?? :oups:siffle



Ah la la, vous avez déjà oublié les puissances du cours sur le binaire ? Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même !!

Ensuite, vous faites la différence entre les ordonnées, que vous mettez également au carré.

Vous ajoutez les deux nombres ainsi trouvés, et vous prenez la racine carré de ce nombre. La racine carrée, c'est l'exact contraire de la mise au carré d'un nombre. C'est trouver le nombre qui, une fois multiplié par lui-même, nous donne le résultat sous le symbole de la racine carrée. Par exemple, sqrt{4}=2, parce que 2^2=4. Au pire, vous avez des calculatrices qui feront très bien ça pour vous ! :D

Un petit exemple pour illustrer ça ? Allez, on va prendre les points A et B de coordonnées A (-1; -2) et B (3; - 2)



Je commence par faire la différence des deux abscisses : j'ai donc (-1)-3=-4. Je mets ce nombre au carré : (-4)*(-4)=16

Je fais la même chose pour les ordonnées : j'ai (-2)-(-2)=0. Et 0 au carré... ça donne 0 ! J'ajoute ces deux nombres, j'obtiens donc 16.

Il ne me reste plus qu'à prendre la racine carrée de 16. Ça tombe bien, c'est un carré facile qui tombe pile poil sur un entier (quel exemple bien choisi :D)! sqrt{16}=4

Voilà, la distance entre mes deux points est donc de 4 ! Regardez la représentation suivante, vous verrez effectivement que la distance qui sépare nos deux points est bien de 4 unités !



distanceab





Droites, segments et vecteurs





Comme maintenant on sait placer des points, il va nous être relativement facile de placer d'autres éléments. Mais avant tout, on va voir un peu de jargon mathématique, pour réussir à faire les différences entre les éléments dont on parlera par la suite !



Définitions, notations et représentations





Droite





Une droite est une ligne droite (d'où son nom, heureusement que je suis là n'est-ce pas :D), de longueur infinie, d'épaisseur nulle. Dans un plan, on représente facilement une droite en utilisant deux points. Il n'existe qu'une seule droite pouvant passer par deux points distincts !



Longueur infinie ? Eh mais mon repère il est fini lui !! :fou



Évidemment :( . On ne va pas représenter TOUTE la droite, seulement la partie qui nous intéresse ! Mais avant de visualiser cela sur un repère, on va indiquer la notation adéquate: pour définir une droite dans un énoncé, on met son nom entre parenthèses (ou alors les deux points qui la caractérisent). Bien sûr, vous n'appellerez pas votre droite Roger ou Michel, il est de coutume de prendre la lettre D (comme droite, ils se foulent beaucoup les matheux :lol).

J'aurai donc la droite (D), ou si elle passe par les points A et B par exemple (AB).



Pour la figurer sur un repère, si vous la placez "au hasard", pensez à mettre son petit nom à l'une de ses extrémités, comme sur la figure suivante :



droite1



Par contre, si vous la placez en utilisant deux points existants (ici on a pris A(-1; -1) et B(3; 0)) veillez bien à la faire dépasser de part et d'autre des points, comme dans l'illustration ci-dessous :



droite2



On aura l'occasion de reparler des droites par la suite, mais pour l'instant vous en savez suffisamment ! ^^





Segment





Un segment, comme son nom le laisse supposer, est un morceau de droite, de longueur finie et d'épaisseur nulle, qui est défini par deux points qui sont ses extrémités.



Pour parler d'un segment, on utilise les crochets, dans lesquels on place les noms des extrémités. Par exemple, pour un segment d'extrémités A et B, je note donc [AB].



Pour sa représentation, je vais reprendre les mêmes points que pour la droite qu'on a vu ci-dessus : A(-1; -1) et B(3; 0)

Cette fois, contrairement à la droite, vous ne devez pas dépasser des extrémités ! Voilà comment on le représente :



segment



Si vous voulez vous amuser à calculer sa longueur (au segment hein, à quoi pensiez-vous ? :oups), je vous renvoie quelques lignes plus haut, tout vous a été expliqué ! :)





Vecteur





Définition




Ahhh, le vecteur ! Un outil très puissant dans les repères, il va grandement nous servir ! Par contre, il va falloir se retrousser un peu les manches pour bien cerner son principe.



Un vecteur est défini par trois choses :

  • Sa direction
  • Son sens
  • Sa longueur (appelée norme)





En gros, c'est un peu comme un segment, mais orienté, et sans le principe des extrémités. Du coup, pour représenter un vecteur dans un plan vous avez une infinité de possibilités !

En fait tout vient de sa "vraie" définition initiale : on part d'un parallélogramme et...



Euh... C'est quoi un parallélo...machin là ?



Alors... Le parallélogramme, c'est une figure géométrique à 4 côtés, avec la particularité d'avoir ses côtés parallèles deux à deux. Avant que vous ne le demandiez, on dit que deux droites sont parallèles si et seulement si elles ne se coupent en aucun point ! Allez, je vais vous faire un petit dessin de parallélogramme. On va l'appeler ABCD :



parall



Donc sur mon illustration, les droites (AB) et (DC) sont parallèles, de même pour les droites (AD) et (BC).



Je reprends donc après cet aparté subtil : lorsqu'on part d'un parallélogramme, on se rend compte de plusieurs choses. Déjà le fait qu'il y ait parallélisme (donc des directions identiques). Ensuite, vous pouvez vous amuser à mesurer les côtés, vous verrez à votre grande stupéfaction que les côtés parallèles ont la même longueur. Eh bien nous y sommes : si on oriente comme il faut les segments figurant les côtés, on trouve deux représentants d'un même vecteur !



Pour la notation, on surplombe le nom du vecteur (ou du couple de points qui le représente) d'une flèche, comme ceci :

  • Pour un vecteur nommé v : vec{v}
  • Pour son représentant par exemple avec le couple de points A et B : vec{AB}

.



Attention d'ailleurs, contrairement aux segments ou aux droites pour lesquels l'ordre n'a pas d'importance lorsqu'on utilise les points, pour les vecteurs c'est très important : vec{AB} signifie qu'on part de A vers B !



Pour sa représentation graphique, sur notre repère, il suffit de mettre une flèche indiquant son sens ! Voici un exemple d'un vecteur totalement mis au hasard dans un repère orthonormé :



vect1



Coordonnées : représentation et calcul des coordonnées d'un vecteur




Ce qui est encore plus magique avec un vecteur, c'est qu'il peut avoir des coordonnées ! On peut donc le représenter facilement dans un repère.

Par exemple, je vais prendre le vecteur suivant : vec{v} tabular{000}{10}{2 3}



Sans indication complémentaire (on verra plus tard le cas où il y en a, je vous rassure :)), il vous suffit de prendre un point quelconque de votre repère (pour l'exemple présent je choisis arbitrairement le point de coordonnées tabular{000}{10}{1 1}, mais libre à vous d'en choisir un autre à votre convenance ^^).

A partir de ce point, j'ajoute mes coordonnées de vecteur : j'avance donc de 2 sur l'axe des abscisses, et de 3 sur l'axe des ordonnées. Et voilà, le résultat est ci-dessous !



vect2



Après, il peut vous être imposé de représenter un vecteur à partir d'un point donné, mais le principe reste identique : vous n'avez qu'à ajouter les coordonnées du vecteur à celles du point imposé pour en trouver la deuxième extrémité !



C'est un peu grâce à cela qu'on peut s'apercevoir qu'il existe autant de possibilités de représenter un vecteur dans un repère que de points dans ce repère, donc... un fort joli paquet !



Lorsque vous avez un couple de points avec leurs coordonnées respectives, vous pouvez également parvenir à calculer l'abscisse et l'ordonnée d'un vecteur correspondant. Ce n'est pas sorcier, mais il faut bien être attentif au sens du vecteur pour ne pas se tromper dans le calcul des coordonnées. Rien de tel qu'un petit exemple pour se faire la main :

Prenons les points suivants : A tabular{000}{10}{1 1} et B tabular{000}{10}{3 2}

On va immédiatement les positionner dans un repère :



vect3



De là, on voit bien que j'ai deux possibilités : soit j'ai le vecteur vec{AB}, avec le sens de A vers B, soit le vecteur vec{BA} avec le sens de B vers A ! On se décide donc pour s'occuper du vecteur vec{BA}. Alors soyez attentifs : les coordonnées d'un vecteur sont les différences entre les coordonnées de son point d'arrivée et son point de départ.



Pour mon exemple, j'aurai donc l'abscisse de mon vecteur qui sera égale à l'abscisse de B (point d'arrivée) moins l'abscisse de A (point de départ), et pareil pour son ordonnée. En posant le calcul, vous obtenez

vec{AB} tabular{000}{10}{3-1 2-1}, soit vec{AB} tabular{000}{10}{2 1}

A l'inverse, si j'avais étudié le vecteur vec{BA}, le calcul des coordonnées aurait été le suivant :

vec{BA} tabular{000}{10}{1-3 1-2}, soit vec{AB} tabular{000}{10}{(-2) (-1)}.

Tiens c'est amusant, vous avez remarqué ? Les coordonnées de ce vecteur sont les opposées de celle du vecteur précédent ! Eh bien oui, lorsqu'on a un vecteur de même direction et de même norme, si son sens change, alors on prend les coordonnées opposées !



Calculs sur les vecteurs




Nous allons aborder ici pas mal de règles différentes à propos du calcul sur les vecteurs, vous verrez là que c'est un outil réellement puissant (niveau mathématique, évidemment ;)).



Somme de vecteurs



Les vecteurs étant des outils géométriques assez particuliers, il est possible de les ajouter. Prenons un petit exemple, avec sa représentation sur un repère. Ici nous aurons 3 points : A tabular{000}{10}{1 1}, B tabular{000}{10}{2 3}B et C tabular{000}{10}{4 0}. Mon but est d'ajouter vec{BC} à vec{AB}.



vect4



On va essayer d'imaginer un point qui se déplace. Il part du point A vers le point B (il suit vec{AB}), puis du point B vers le point C (il suit vec{BC}). J'aurai donc effectué au final le trajet de A vers C. Ajouter deux vecteurs, c'est en fait ajouter leurs coordonnés respectives ! Je vais calculer les coordonnées de mes 2 vecteurs :

D'abord vec{AB} tabular{000}{10}{2-1 3-1} soit vec{AB} tabular{000}{10}{1 2}.

Ensuite, vec{BC} tabular{000}{10}{4-2 0-3} soit vec{BC} tabular{000}{10}{2 (-3)}.

J'ajoute maitenant les coordonnées ainsi trouvées : j'ai 1+2=3 en abscisse, et 2-3=-1 en ordonnée. Calculons à présent les coordonnées du vecteur vec{AC}. On a :

vec{AC} tabular{000}{10}{4-1 0-1} soit vec{AC} tabular{000}{10}{3 (-1)}.



Ca alors, c'est les coordonnées qu'on a trouvé en additionnant les deux vecteurs ! N'est-ce pas magique ? Grâce à cet exemple, non seulement vous savez ajouter deux vecteurs mais vous avez la définition de ce qu'on appelle la relation de Chasles.



C'est quoi cette bestiole-là encore ?



C'est une égalité qui vous permet de décomposer un vecteur en une somme de vecteurs. En fait pour tout vecteur vec{AB} et pour tout point M quelconque du plan, on a l'égalité suivante qui est TOUJOURS vérifiée :

vec{AB} = vec{AM} + vec{MB}.



Sinon en passant, comme vous savez maintenant additionner deux vecteurs, vous savez aussi en pratique les soustraire. Ben oui ! Soustraire (souvenez-vous) c'est ajouter l'opposé ! Et les coordonnées de l'opposé d'un vecteur comme on l'a vu pus haut sont les opposées des coordonnées de ce vecteur !

Pour tout vecteur vec{AB}, on peut noter vec{AB}=-vec{BA}



Le vecteur nul



Le vecteur nul est un vecteur qui a 0 en abscisse comme en ordonnée. Reprenons rapidement la dernière ligne précédente : vec{AB}=-vec{BA}. Si je fais donc vec{AB}+vec{BA}, j'obtiens des coordonnées nulles (ou le vecteur vec{AA} si j'utilise la relation de Chasles, celui-ci aura aussi des coordonnées nulles, voir plus haut). Il est représenté par un 0 surmonté de la flèche typique des vecteurs : vec{0}.





Multiplication d'un nombre par un vecteur



Forcément, si vous pouvez additionner des vecteurs, vous comprendrez bien qu'on peut aussi les multiplier, mais ATTENTION, pas entre eux, uniquement par un nombre !

Si je fais vec{AB} + vec{AB}, j'ai bien 2 vec{AB}. Pour avoir les coordonnées, il suffit alors de multiplier celles du vecteur d'origine par le nombre en question. Si j'avais ici par exemple vec {AB} tabular{000}{10}{3 1}, j'aurai 2vec {AB} tabular{000}{10}{2*3 2*1} soit 2 vec {AB} tabular{000}{10}{6 2}.





Vecteurs colinéaires



T'en as pas marre de nous mettre plein de noms bizarres partout ?



Euh... Si :oups J'avoue qu'il y a pas mal de vocabulaire à assimiler, mais là, le principe est assez aisé à comprendre. On dit de deux vecteurs qu'ils sont colinéaires s'ils ont la même direction, tout simplement.

Par exemple, si je prends les points suivants : O tabular{000}{10}{0 0} A tabular{000}{10}{2 1} B tabular{000}{10}{6 3}. Les plus fûtés d'entre vous remarqueront qu'on a vec{OB}=3vec{OA}. Eh bien ceux-là ont tout compris (et les autres l'apprennent maintenant :D) : pour que deux vecteurs soient colinéaires, il suffit qu'il existe un coéfficient quelconque qui fait qu'on puisse retrouver les coordonnées de l'un par rapport à l'autre. En formule "mathématique", on dira que deux vecteurs vec{u} et vec{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre k (oui on l'appelle k comme on aurait pu l'appeler Robert ou T, mais bon... je m'égare) tel que vec{v}=k vec{u}.

Je vous mets quand même les points de mon exemple, pour que vous voyez que ces points sont bien sur la même direction (ici c'est un cas simple vu que les points sont effectivement alignés, mais vous pourriez très bien avoir des vecteurs de directions parallèles). Voilà le dessin :



vect5



Après, quand vous avez les coordonnées de deux vecteurs, il y a une méthode infaillible pour déterminer si ceux-ci sont colinéaires ou pas. On va reprendre nos vecteurs vec{u} et vec{v}. Ecrivons leurs coordonnées : vec{u} tabular{000}{10}{x_u y_u} et vec{v} tabular{000}{10}{x_v y_v}.

vec{u} et vec{v} sont colinéaires si et seulement si x_u*y_v-x_v*y_u=0. La preuve avec notre exemple (je vous épargne les calculs des coordonnées, normalement vous savez faire maintenant :;) ) : j'ai vec{OA} tabular{000}{10}{2 1} et vec{OB} tabular{000}{10}{6 3}. J'applique ma nouvelle formule : je dois donc calculer 2*3 - 1*6, donc 6-6, donc 0. Mes vecteurs sont bien colinéaires !!



Cette partie est importante pour ce qui suivra prochainement, n'hésitez donc pas à faire et refaire des essais pour bien acquérir la technique de vérification de colinéarité.





Vecteurs orthogonaux



La dernière chose à savoir, c'est que grâce aux coordonnées, vous pouvez savoir si deux vecteurs ont leurs directions qui sont orthogonales (pour rappel, qui forment un angle droit). Cette fois, il faut appliquer la formule suivante (je garde les vecteurs et coordonnées du paragraphe précédent) : x_u*x_v+y_u*y_v. Si le résultat est nul, vos vecteurs ont leurs directions orthogonales. Un exemple concret ? On prend les points suivants : O tabular{000}{10}{0 0} A tabular{000}{10}{2 1} B tabular{000}{10}{(-1) 2}

Voici le dessin de tout ça, et même à l'oeil nu vous pouvez voir qu'effectivement, l'angle entre les directions de vec{OA} et vec{OB} est droit.



vect6



Je fais à présent le calcul pour confirmer tout ça : 2*(-1)+1*2, soit (-2)+2, soit 0.

Voilà qui démontre que la formule de calcul est bonne !





Equations de droites





Grâce aux vecteurs, nous allons être en mesure de définir une équation (rappelez-vous, une expression contenant un signe "=") pour représenter une droite. Le but est de pouvoir représenter une droite comme un ensemble de points, dont on calcule l'ordonnée en fonction de l'abscisse ! Ce qui est plus qu'utile lorsqu'on souhaite par exemple représenter une trajectoire linéaire.



Le vecteur directeur





Comme son nom l'indique, on peut déterminer un vecteur qui indique la direction d'une droite. Il suffit de prendre deux points (bien placés pour faciliter les calculs) sur la représentation d'une droite, et vous aurez les coordonnées de ce vecteur directeur. Reprenons une représentation de droite déjà vue précédemment :



droite2



Cette droite passe par les points A et B, on peut donc dire que vec{AB} est un vecteur directeur de cette droite. Ses coordonnées sont les suivantes :

vec{AB} tabular{000}{10}{4 1}



Détermination de l'équation de droite





Méthode des vecteurs colinéaires





Pour déterminer l'équation d'une droite, vous n'avez besoin que des coordonnées de deux points de celle-ci. On va reprendre l'exemple du dessus avec les points A tabular{000}{10}{(-1) (-1)} et B tabular{000}{10}{3 0}

On va partir du principe qu'il y a sur la droite un point M tabular{000}{10}{x y}.

Comme on l'a dit plus haut, le fait que M soit sur la droite implique que les différents vecteurs qu'on peut former avec ces 3 points soient colinéaires. On va donc prendre un vecteur dont on peut déterminer les coordonnées (au hasard le vecteur vec{AB} qui est le vecteur directeur), puis un vecteur quelconque, soit vec{AM}, soit vec{BM}. Par commodité pour les calculs qui vont suivre, je choisis vec{BM}.

J'ai donc vec{AB} tabular{000}{10}{4 1} et vec {BM} tabular{000}{10}{x-3 y}.

Ces 2 vecteurs étant par définition colinéaires, je peux appliquer ma formule qui permet de vérifier la colinéarité, et ainsi trouver l'égalité suivante, qui est vérifiée !

4*y-(x-3)*1=0, ce qui équivaut à 4y-x+3=0, ou encore, après avoir tout rangé comme il faut : y=x/4-3/4

Et voilà, j'ai mon équation de droite ! Les coordonnées de tous les points de la droite vérifieront cette équation. Si vous remplacez les x et y de l'équation respectivement par l'abscisse et l'ordonnée d'un point de la droite, vous aurez toujours une égalité vérifiée. Vous ne me croyez pas ? Eh bien testons avec les deux points connus A et B !

Pour A, je remplace les x et y de l'équation par les "bonnes" coordonnées : -1=(1/4)*(-1)-3/4, ce qui me donne -1=-1 : c'est vérifié !

Idem pour B : 0=(1/4)*(3)-3/4 ce qui me donne 0=0, c'est vérifié aussi !

L'équation de droite peut ainsi vous servir à trouver un point sur la droite si vous ne connaissez que son abscisse ou son ordonnée. Si je cherche par exemple le point de la droite qui a une abscisse nulle, il me suffit de remplacer x par 0 dans l'équation, et je trouve directement l'ordonnée (je vous dispense des calculs, mais si vous les faites, vous trouverez -3/4.

D'ailleurs, l'ordonnée de ce point particulier d'abscisse 0 sur une droite est appelé l'ordonnée à l'origine !



Méthode du coefficient directeur





La majorité des équations de droites (les cas particuliers seront abordés plus bas, ne vous inquiétez pas :D) sera de la forme y=ax+b avec a et b, deux nombres quelconques. Le nombre a est appelé coefficient directeur, et b, on l'a déjà vu, c'est l'ordonnée à l'origine. Si vous avez un vecteur directeur d'une droite, et les coordonnées d'un point de cette droite, il est assez facile de déterminer l'équation de celle-ci. Le calcul du coefficient directeur se fait en faisant la division de l'ordonnée du vecteur directeur par son abscisse. Si j'applique ce calcul avec mon exemple précédent, j'avais le vecteur directeur vec{AB} tabular{000}{10}{4 1} : mon coefficient directeur est donc bien 1/4 (la preuve, regardez à nouveau l'équation qu'on a trouvé précédemment !).

A partir de là, je sais que mon équation de droite sera de la forme y=1/4x+b. Après il me reste à prendre les coordonnées d'un point connu de la droite, et de remplacer dans cette dernière équation x et y par les coordonnées du point. Si je prends le point B, je trouve donc :

0=3/4+b. Je résous l'équation, je trouve b=-3/4. J'ai donc mon coefficient directeur et mon ordonnée à l'origine : je peux donc écrire mon équation de droite qui est bien y=x/4-3/4



Droites particulières





Comme dit au paragraphe du dessus, il y a certaines droites qui ont des équations pour le moins particulières. Ces droites sont les parallèles aux axes de mon repère ! Eh oui, regardez un peu le dessin suivant, ou je fais passer des droites respectivement parallèle à l'axe des abscisses par le point A tabular{000}{10}{0 3}, et à l'axe des ordonnées par le point B tabular{000}{10}{2 0} :



equ1



Pour la droite qui passe par le point A, on remarque que quelle que soit l'abscisse du point de la droite, l'ordonnée sera toujours de 3. L'équation est ici on ne peut plus simple : y=3. Eh oui, l'ordonnée ne se calcule pas ici en fonction de l'abscisse, vu qu'elle est constante ! En conclusion, toute droite parallèle à l'axe des abscisses sera de la forme y=b, avec b un nombre quelconque.



Pour celle qui passe par le point B, c'est pareil, à ceci près que c'est cette fois l'abscisse qui reste constante. Pour mon exemple, l'équation est donc x=2. Donc au final toute droite parallèle à l'axe des ordonnées sera de la forme x=b, avec b un nombre quelconque.



Enfin, il y a une droite à l'équation un peu particulière : y=x. Sur cette droite (qui passe par l'origine), tous les points ont leurs abscisses et ordonnées égales. En voici la représentation :



equ2



Voilà qui conclut ce chapitre sur les équations de droites !





Pour aller plus loin...





Il aurait été possible d'aller encore plus loin, mais je vais arrêter là ce tutoriel sur les repères. Il est cependant fort probable que vous les retrouviez dans un prochain tuto mathématique, donc ne vous endormez pas sur les acquis.



En fait, pour ceux qui veulent aller plus loin, sachez qu'on peut aussi trouver des équations pour toute une flopée de courbes et formes diverses, mais là on entre dans une méthode un peu plus pointue, qui s'appelle l'étude de fonctions (qui se voit lors des années de première et terminale scientifique), et qui couvre vraiment un champ de possibilités très large. Vous en savez a priori pour le moment assez, vous savez placer des points dans un repère et déterminer des équations de droites, vous avez ainsi un petit bagage intéressant pour aborder sereinement la programmation côté graphique de vos MSX chéris ! ;)]]> Fri, 12 Jul 2013 11:33:07 +0200 <![CDATA[Initiation à l'hexadécimal]]> https://msxvillage.fr/wiki/initiation-a-l-hexadecimal https://msxvillage.fr/wiki/initiation-a-l-hexadecimal Introduction



Derrière ce nom particulièrement barbare se cache une nouvelle manière de représenter les nombres, en dehors de la représentation traditionnelle en décimal, ou de la représentation binaire, certes la plus "proche" de l'ordinateur, mais assez lourde à gérer pour les grands nombres. Pour bien assimiler ce qui sera dit, je vous invite à consulter les paragraphes concernant le fonctionnement de ces deux systèmes dans le cours sur le binaire.



Fonctionnement du système hexadécimal





On a donc le système décimal, à base de puissances de 10, le système binaire à base de puissances de 2, et maintenant le système hexadécimal à base de puissances de... 16 !



16 !!! Quelle idée bizarre ! Pourquoi ce nombre et pas un autre ?



C'est très simple. La mesure en informatique, c'est l'octet (huit bits). Les nombres ainsi codés iront au maximum (si on ne prend pas en compte les nombres signés, donc uniquement des nombres positifs) jusqu'à 11111111, soit 255. Calculez à présent 28. Vous trouvez 256. Tiens ça c'est amusant... ou plutôt totalement logique ;) En effet, si on ajoute 1 à 11111111, on trouve 100000000 ! On aurait un bit 8, correspondant à 28. Et le 8 qui est en exposant... N'est-ce pas par le plus grand hasard le nombre de bits sur lequel on code un octet ? Bingo ! Dans 28, le chiffre 2 représente la base, l'exposant 8, le nombre de digits pour écrire les nombres !





Reprenons notre 28.

On peut l'écrire 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2.

Ou bien encore (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2) x (2 x 2).

Donc 4 x 4 x 4 x 4.

Ou si vous préférez (4 x 4) x (4 x 4)

Et finalement 16 x 16, ou 162 !



Si je suis le raisonnement pour le binaire js suis en base 16, pour coder un nombre sur un octet, j'utiliserai donc seulement 2 digits !! Voilà tout l'intérêt de travailler en base 16 ! 2 digits au lieu de 8, c'est beaucoup plus facile !



Passons justement aux digits en hexadécimal. Comme vous le savez, un digit est représenté par un chiffre, ayant une valeur maximale de (valeur de la base) - 1. Ici en base 16, on aurait au maximum 15.



Oui mais 15 ce n'est pas un chiffre !! Comment faire alors ?



C'est là qu'intervient toute la subtilité : pour représenter les digits dont les valeurs dépassent 9, on va utiliser... les lettres de l'alphabet ! Quand je compterai en hexadécimal jusqu'à 15 j'aurai donc : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F !





Opérations en hexadécimal





Comme on l'a vu dans l'initiation au binaire, les opérations arithmétiques de base doivent répondre aux spécificités de la base dans laquelle on se trouve. Cependant, les principes mêmes des opérations sont les mêmes qu'en décimal, il reste juste à savoir les valeurs particulières !

En ce qui concerne les nombres signés, l'hexadécimal n'étant qu'une "simplification" du binaire, les particularités vues auparavant s'appliqueront aussi en hexadécimal.



Je vais ainsi vous livrer 3 tableaux qui pourront s'avérer fort utiles par la suite :



Le premier est un tableau de conversion multi-systèmes :



Valeur décimale Valeur binaire Valeur hexadécimale
0 0 0
1 1 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F






Le tableau suivant est une table d'addition.



+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11
3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12
4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13
5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14
6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15
7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16
8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17
9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C
E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E




Enfin, ceci est le tableau de multiplication.



x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E
3 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D
4 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C
5 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B
6 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A
7 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69
8 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78
9 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87
A A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96
B B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 91 A5
C C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4
D D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3
E E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2
F F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1




Grâce à ces tableaux, vous pourrez réaliser la plupart des opérations courantes. Allons-y pour leur descriptif !





Addition





Pour réaliser une addition, on prend les mêmes règles que d'habitude, donc comme en décimal ou en binaire. C'est là aussi que le tableau d'addition va nous servir (le fait que F + F = 1E n'est pas forcément facile à retenir :D). Donc quand on pose son opération, on essaie de se souvenir du fait qu'on a une retenue dès qu'on dépasse ou égale 16. Je vous en pose une petite, pour que vous voyez un peu le résultat :



add6



En détail, je commence par additionner A et E. D'après ma table d'addition, le résultat est 18. Donc je pose 8, et je retiens 1. J'ajoute ensuite 9 et 2, ce qui me donne B, auquel j'ajoute ma retenue, ça me donne C. J'ai donc mon résultat final : C8 !





Soustraction





Pour la soustraction, deux méthodes : soit vous la posez de façon "traditionnelle", soit vous la convertissez en addition d'opposé. Pour la méthode traditionnelle, rien de bien sorcier, c'est le même principe que d'habitude. Allons-y pour un exemple :





soust2



Pour le mode opératoire : je commence bien sûr par la droite : je fais donc E - F. Comme F est plus grand que E, je suis obligé de placer une retenue. Donc je dois faire 1E - F, qui me donne F (dans mon tableau d'addition, je cherche sur la ligne de F la case qui comporte le 1E et mon résultat est le nom de colonne !). Je passe à gauche, je n'oublie pas d'ajouter la retenue au chiffre du bas, donc 1 + 1, j'ai donc 2 - 2 qui me donne 0. Résultat de l'opération : F !





Multiplication





C'est toujours le même schéma que la multiplication décimale ou binaire. En dehors du fait qu'il faut utiliser les tables de multiplications hexadécimales; d'où l'intérêt du tableau donné plus haut. Posons donc une multiplication :



mult2



On commence par la droite : 1 x 3E... Ben c'est 3E. On passe au chiffre de gauche : on passe à la ligne, on laisse le blanc (ou le 0) traditionnel, et on attaque : B x E, d'après ma table, ça fait 9A. Je pose donc mon A, et je retiens 9. B x 3 nous donne 21, auquel il faudra que j'ajoute ma retenue de 9. Il ne me reste plus qu'à ajouter tout ça, de droite à gauche : E + 0 nous donne E, A + 3 nous donne D, 9 + 1 = A, et 2 + 0 nous donne 2. Résultat final : 2ADE !





Division





Alors la division... Euh... Comment dire ? :oups

Eh bien disons qu'à moins de connaître par coeur votre table de multiplication hexadécimale (ce dont je doute :lol), vous ne pourrez arriver à rien. Vaut mieux repasser soit par le binaire, soit par le décimal !







C'est sur cette note pleine de réussite que se termine cette courte initiation à l'hexadécimal. Ne négligez pas cette base de calcul, elle vous servira grandement lors de la rédaction de vos programmes ! ;)]]> Fri, 12 Jul 2013 11:23:18 +0200 <![CDATA[Mathématiques pour la programmation]]> https://msxvillage.fr/wiki/mathematiques-pour-la-programmation https://msxvillage.fr/wiki/mathematiques-pour-la-programmation Fri, 12 Jul 2013 10:53:30 +0200